Binomisarja

Binomisarja on funktion ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}$ Taylorin sarja, kun ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ on mielivaltainen kompleksi- tai erikoistapauksessa reaaliluku. Se voidaan esittää muodossa

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\alpha \choose k}\;x^{k}\qquad \qquad \qquad (1)\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots ,\end{aligned}}}$

jolloin binomisarja on yhtälön (1) oikealla puolella oleva potenssisarja. Yhtälö pätee, kun tämä sarja suppenee.^[1] Sen kertoimet voidaan esittää yleistettyinä binomikertoimina:

${\displaystyle {\alpha \choose k}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.}$

1. ↑ Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 2, s. 137–139. Kirjayhtymä, 1975. ISBN 951-26-0994-0.