Frobeniusgruppe

Unter einer Frobeniusgruppe (nach Ferdinand Georg Frobenius) versteht man in der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Algebra, eine endliche Gruppe ${\displaystyle G}$, in der eine Untergruppe ${\displaystyle 1\subsetneqq H\subsetneqq G}$ existiert, welche die Eigenschaft ${\displaystyle \forall \,g\in G\setminus H:H^{g}\cap H=1}$ besitzt (Wobei ${\displaystyle H^{g}}$ definiert ist durch ${\displaystyle H^{g}:=\{g^{-1}hg|h\in H\}}$).

Eine solche Untergruppe nennt man dann Frobeniuskomplement.

Eine wichtige Rolle im Zusammenhang mit der Struktur von Frobeniusgruppen spielt der sogenannte Frobeniuskern, welcher durch

${\displaystyle K:=\left(G\setminus \bigcup _{g\in G}H^{g}\right)\cup \left\{1\right\}}$

definiert ist. Genauer spricht man dann von dem Frobeniuskern in ${\displaystyle G}$ bezüglich des Frobeniuskomplementes ${\displaystyle H}$.