Prandtl-Zahl

Physikalische Kennzahl
Name	Prandtl-Zahl
Formelzeichen	${\displaystyle {\mathit {Pr}}}$
Dimension	Zahl
Definition	${\displaystyle {\mathit {Pr}}={\frac {\nu }{a}}}$
${\displaystyle \nu }$ kinematische Viskosität ${\displaystyle a}$ Temperaturleitfähigkeit
Benannt nach	Ludwig Prandtl
Anwendungsbereich	Vergleich von Konvektion und Diffusion

Die Prandtl-Zahl (${\displaystyle {\mathit {Pr}}}$) ist eine nach Ludwig Prandtl benannte Kennzahl mit der Einheit Eins von Fluiden, das heißt von Gasen oder Flüssigkeiten. Sie ist definiert als Verhältnis zwischen kinematischer Viskosität und Temperaturleitfähigkeit:

${\displaystyle {\mathit {Pr}}={\frac {\nu }{a}}={\frac {\nu \,\rho \,c_{\mathrm {p} }}{\lambda }}={\frac {\eta \,c_{\mathrm {p} }}{\lambda }}}$

• ${\displaystyle \eta }$ – dynamische Viskosität des Fluids in kg·m⁻¹·s⁻¹
• ${\displaystyle \nu }$ – kinematische Viskosität in m²·s⁻¹
• ${\displaystyle \lambda }$ – Wärmeleitfähigkeit in W·m⁻¹·K⁻¹
• ${\displaystyle a}$ – Temperaturleitfähigkeit in m²·s⁻¹
• ${\displaystyle c_{\mathrm {p} }}$ – spezifische Wärmekapazität in J·kg⁻¹·K⁻¹ bei konstantem Druck.

Die Prandtl-Zahl stellt die Verknüpfung des Geschwindigkeitfeldes mit dem Temperaturfeld eines Fluids dar. Während die kinematische Viskosität ${\displaystyle \nu }$ den Impulstransport infolge von Reibung repräsentiert, steht der Temperaturleitkoeffizient ${\displaystyle a}$ für den (ggf. instationären) Wärmetransport infolge von Leitung. Da der Impulstransport durch das Geschwindigkeitsfeld, der Wärmetransport durch das Temperaturfeld bestimmt ist, verbindet die Prandtl-Zahl die beiden für den Wärmeübergang maßgebenden Felder. Die Prandtl-Zahl ist somit ein Maß für das Verhältnis der Dicken von Strömungsgrenzschicht zu Temperaturgrenzschicht.^[1]

Die Prandtl-Zahl ist eine reine, im Allgemeinen temperatur- und druckabhängige Stoffgröße (Materialparameter) des Fluids: ${\displaystyle {\mathit {Pr}}={\mathit {Pr}}(T,p)}$.

Das Analogon der Prandtl-Zahl in der Stoffübertragung ist die Schmidt-Zahl ${\displaystyle {\mathit {Sc}}}$. Das Verhältnis aus Schmidt- und Prandtl-Zahl ist die Lewis-Zahl.

Für ein Modellgas aus einheitlichen, harten Kugeln mit anziehender Dipolwechselwirkung (Hartkugelgas) ergibt sich unabhängig von der Temperatur der Wert ${\displaystyle Pr={\tfrac {2}{3}}}$ (siehe kinetische Gastheorie). Dies steht für einatomige Gase Helium, Neon, Argon, Krypton und Xenon in sehr guter Übereinstimmung mit den experimentellen Werten.

Für Gase und Dämpfe gilt für Drücke von 0,1 bis 10 bar näherungsweise:

${\displaystyle {\mathit {Pr}}={\frac {4\kappa }{9\kappa -5}}}$

wobei ${\displaystyle \kappa }$ der Isentropenexponent ist.

1. ↑ Heinz Brauer: Stoffaustausch einschließlich chemischer Reaktionen. Sauerländer AG, Aarau, 1971, ISBN 3794100085