Wigner-Theorem

Das Wigner-Theorem bzw. der Satz von Wigner, bewiesen von Eugene Paul Wigner 1931,^[1] ist ein Meilenstein der mathematischen Grundlagen der Quantenphysik. Das Theorem beschreibt, wie Symmetrien im Hilbertraum der quantenmechanischen Zustände operieren. Beispiele für solche Symmetrien sind Rotationen, Verschiebungen im Ortsraum, Lorentz-Boosts, Punktsymmetrien oder die CPT-Symmetrie. Dem Theorem zufolge kann dabei jede Symmetrie als unitärer Operator oder antiunitärer Operator des Hilbertraums dargestellt werden.

Exakt ausgedrückt, besagt es, dass jede surjektive (jedoch nicht notwendig lineare) Abbildung ${\displaystyle T\colon H\to H}$, die auf einem komplexen Hilbertraum ${\displaystyle H}$ der Bedingung

${\displaystyle |\langle Tx,Ty\rangle |=|\langle x,y\rangle |}$

für alle ${\displaystyle x,y\in H}$ genügt, die Form ${\displaystyle Tx=\varphi Ux}$ für alle ${\displaystyle x\in H}$ hat. Dabei hat ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {C} }$ den Betrag eins und ${\displaystyle U\colon H\rightarrow H}$ ist ein unitärer oder antiunitärer Operator.

1. ↑ E. P. Wigner: Gruppentheorie. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1931, S. 251–254; Group Theory. Academic Press, New York, 1959, S. 233–236.