Eksponent

Šablon:Infokutija simbol

Eksponencijacija je matematička operacija, napisana kao bⁿ , koji uključuje dva broja, baza b i eksponent ili power n, i izgovara se kao "b (podignuto) na (potenciju) n".^[1] Kada je n pozitivan integer, eksponencijacija odgovara ponovljenom umnošku baze: to jest, bⁿ je proizvod množenja n baza:^[1] $${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}.}$$

Eksponent se obično prikazuje kao superskripta desno od baze. U tom slučaju, bⁿ zove se "b podignut na n-tu potenciju, 'b (podignut) na stepen n', "n-ti stepen b", "b na n-tu potenciju",^[2] ili najkraće kao "b do n-og.

Polazeći od osnovne činjenice gore navedene da je za svaki pozitivan cijeli broj ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle b^{n}}$ ${\displaystyle n}$ pojavljivanja ${\displaystyle b}$ sve pomnoženo jedno s drugim, direktno slijedi nekoliko drugih svojstava eksponencijalnosti. Posebno:

$${\displaystyle {\begin{aligned}b^{n+m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ times}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ times}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ times}}}\\[1ex]&=b^{n}\times b^{m}\end{aligned}}}$$

Drugim riječima, kada se množi baza podignuta na jedan eksponent sa istom bazom podignutom na drugi eksponent, eksponenti se sabiraju. Iz ovog osnovnog pravila koje dodaju eksponenti možemo izvesti da ${\displaystyle b^{0}}$ mora biti jednako 1, kako slijedi. Za bilo koji ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle b^{0}\cdot b^{n}=b^{0+n}=b^{n}}$. Podjela obje strane sa ${\displaystyle b^{n}}$ daje ${\displaystyle b^{0}=b^{n}/b^{n}=1}$.

Činjenica da se ${\displaystyle b^{1}=b}$ može na sličan način izvesti iz istog pravila. Na primjer, ${\displaystyle (b^{1})^{3}=b^{1}\cdot b^{1}\cdot b^{1}=b^{1+1+1}=b^{3}}$. Uzimanje kubnog korijena obje strane daje ${\displaystyle b^{1}=b}$.

Pravilo da množenje čini da se eksponenti sabiraju može se koristiti i za izvođenje svojstava negativnih cjelobrojnih eksponenata. Razmotrite pitanje šta bi trebalo značiti ${\displaystyle b^{-1}}$. Da bi se poštivalo pravilo "eksponenti dodatak", mora biti slučaj da ${\displaystyle b^{-1}\cdot b^{1}=b^{-1+1}=b^{0}=1}$. Dijeljenje obje strane sa ${\displaystyle b^{1}}$ daje ${\displaystyle b^{-1}=1/b^{1}}$, što se jednostavnije može napisati kao ${\displaystyle b^{-1}=1/b}$, koristeći rezultat odozgo da je ${\displaystyle b^{1}=b}$. Po sličnom argumentu, ${\displaystyle b^{-n}=1/b^{n}}$.

Svojstva razlomanih eksponenata također proizlaze iz istog pravila. Naprimjer, pretpostavimo da razmatramo ${\displaystyle {\sqrt {b}}}$ i pitamo postoji li neki odgovarajući eksponent, koji možemo nazvati ${\displaystyle r}$, tako da je ${\displaystyle b^{r}=\ sqrt{b}}$. Iz definicije kvadratnog korijena, imamo da je ${\displaystyle {\sqrt {b}}\cdot {\sqrt {b}}=b}$. Prema tome, eksponent ${\displaystyle r}$ mora biti takav da ${\displaystyle b^{r}\cdot b^{r}=b}$. Korišćenje činjenice da množenje čini eksponente sabiranjem daje ${\displaystyle b^{r+r}=b}$. ${\displaystyle b}$ na desnoj strani se također može napisati kao ${\displaystyle b^{1}}$, dajući ${\displaystyle b^{r+r}=b^{1}}$ . Izjednačavajući eksponente na obje strane, imamo ${\displaystyle r+r=1}$. Prema tome, ${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$, tako da ${\displaystyle {\sqrt {b}}=b^{1/2}}$.

Definicija eksponencijalnosti može se proširiti tako da omogući bilo koji realan ili kompleksni eksponent. Eksponencijaliranje cjelobrojnim eksponentima se također može definisati za širok spektar algebarskih struktura, uključujući matrice.

Eksponencijacija se intenzivno koristi u mnogim poljima, uključujući ekonomiju, biologiju, hemiju, fiziku i računarske nauke, sa aplikacijama kao što su složeni interes, rast populacije, kinetika hemijske reakcije, ponašanje talasa i kriptografija s javnim ključem.

1. ^ ^{a b} Nykamp, Duane. "Basic rules for exponentiation". Math Insight. Pristupljeno 27. 8. 2020.
2. ^ Weisstein, Eric W. "Power". mathworld.wolfram.com (jezik: engleski). Pristupljeno 27. 8. 2020.