Equacions de Cauchy-Riemann

En anàlisi complexa, les equacions de Cauchy-Riemann caracteritzen les funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex entre les funcions diferenciables en sentit real: són condicions necessàries i suficients relatives a les derivades parcials d'una funció diferenciable en sentit real perquè sigui diferenciable en sentit complex.

Considerem aquí una funció ${\displaystyle \ f:U\to \mathbb {C} }$ d'una variable complexa, definida en un obert U de ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Emprem les notacions següents:

• la variable complexa ${\displaystyle \ z}$ es nota per ${\displaystyle \ x+i\,y}$, on x, y són reals
• les parts real i imaginària de ${\displaystyle \ f(z)=f(x+i\,y)}$ es noten respectivament per ${\displaystyle \ P(x,y)}$ i ${\displaystyle \ Q(x,y)}$, és a dir: ${\displaystyle \ f(z)=P(x,y)+i\,Q(x,y)}$, on ${\displaystyle \ P,\,Q}$ són dues funcions reals de dues variables reals.

Les equacions de Cauchy-Riemann en ${\displaystyle \ z_{0}=x_{0}+i\,y_{0}}$ es poden escriure sota les formes equivalents següents:

• ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})=i\,{\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}(x_{0},y_{0})={\frac {\partial Q}{\partial y}}(x_{0},y_{0})}$ i ${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}(x_{0},y_{0})=-{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x_{0},y_{0})}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})=0}$

Reben el nom de Augustin Louis Cauchy i Bernhard Riemann, que van ser els primers en estudiar-les i definir-les com un objecte matemàtic "per se", creant a partir d'aquestes la branca de l'anàlisi complexa. També es poden anomenar condicions de Cauchy-Riemann o sistema de Cauchy-Riemann, i l'operador diferencial parcial que apareix a l'esquerra d'aquestes equacions sovint s'anomena operador de Cauchy-Riemann. Tot i això, la primera introducció i ús de les equacions s'atribueix a Jean le Rond d'Alembert l'any 1752, al seu treball sobre hidrodinàmica,^[1] les quals van suposar un gran avanç en aquest camp, com es pot apreciar en treballs posteriors com els de Horace Lamb.^[2]