Nombre complex

En matemàtiques, un nombre complex és un nombre, ${\displaystyle z}$, que es pot expressar en la forma

${\displaystyle z=a+bi\,}$,

on ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ són nombres reals, i ${\displaystyle i}$ és la unitat imaginària, que satisfà la propietat fonamental

${\displaystyle i^{2}=-1\,}$.

En l'expressió donada, ${\displaystyle a}$ s'anomea la part real del nombre complex, ${\displaystyle a=\operatorname {Re} \,(z)}$, i ${\displaystyle b}$ la part imaginària, ${\displaystyle b=\operatorname {Im} \,(z)}$ ^[1][2]

El conjunt dels nombres complexos es representa per C, o per ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Com que cada nombre complex ve determinat per les seves parts real i imaginària, geomètricament es pot identificar C amb els punts d'un pla, el pla complex, o pla d'Argand. En aquest pla, l'eix d'abscisses correspon als complexos amb part imaginària nul·la, que es poden identificar amb els nombres reals; així, el pla complex conté la recta numèrica. En el mateix pla, l'eix d'ordenades correspon als complexos amb part real nul·la, anomenats imaginaris purs; són els complexos de la forma ${\displaystyle bi}$, amb ${\displaystyle b}$ real.

A banda de la seva importància en àlgebra, els nombres complexos són una eina fonamental en pràcticament totes les branques de les matemàtiques. Igual com amb funcions de variable real, es pot fer anàlisi matemàtica amb funcions de variable complexa; la teoria corresponent s'anomena anàlisi complexa, i té característiques que la fan molt diferent de l'anàlisi real.

Més enllà de les matemàtiques, els nombres complexos tenen aplicacions en la major part de les ciències i la tecnologia. Moltes d'aquestes aplicacions són simplement una conseqüència dels avantatges de treballar amb nombres complexos en lloc de reals, però en alguns camps específics, com ara la mecànica quàntica o la teoria quàntica de camps, l'ús de la variable complexa en la descripció de les entitats físiques és essencial.