Krydsprodukt

Inden for matematikken, mere specifikt lineær algebra og vektorregning, defineres krydsproduktet (også kaldet vektorproduktet) mellem to tre-dimensionale vektorer ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$ og ${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})}$ i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ som vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}}$, udregnet således:

${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{2}\cdot b_{3}-a_{3}\cdot b_{2}\\a_{3}\cdot b_{1}-a_{1}\cdot b_{3}\\a_{1}\cdot b_{2}-a_{2}\cdot b_{1}\end{pmatrix}}}$

Dette kan udtrykkes mere elegant med følgende determinant, hvor ${\displaystyle {\vec {i}}}$, ${\displaystyle {\vec {j}}}$ og ${\displaystyle {\vec {k}}}$ er enhedsvektorer i det tre-dimensionale koordinatsystem:

${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{matrix}}\right|=(a_{2}\cdot b_{3}-a_{3}\cdot b_{2}){\vec {i}}+(a_{3}\cdot b_{1}-a_{1}\cdot b_{3}){\vec {j}}+(a_{1}\cdot b_{2}-a_{2}\cdot b_{1}){\vec {k}}}$

Resultatet ${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}}$ er en normalvektor til både ${\displaystyle {\vec {a}}}$ og ${\displaystyle {\vec {b}}}$, dvs. en vektor, der står vinkelret på begge. Hvis de to vektorer er parallelle, vil krydsproduktet være en nulvektor. Retningen af vektoren vil altid være som z-aksens retning i et højrehåndskoordinatsystem, hvor x- og y-aksen er henholdsvis ${\displaystyle {\vec {a}}}$ og ${\displaystyle {\vec {b}}}$.

Krydsproduktet bruges for eksempel til at finde normalvektoren til det plan de to vektorer udspænder. Der vil imidlertid være to vektorer som kan stå vinkelret på planet, hhv. en der peger "op" samt en der peger "ned". Dette er blandt andet grunden til at det ofte ikke er helt ligegyldigt hvilken rækkefølge man tager krydsproduktet i. Alt afhængig af hvilken rækkefølge man tager krydsproduktet i, vil man ende op med den ene eller den anden netop omtalte vektor. Man kan altså matematisk sige følgende ${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=-{\vec {b}}\times {\vec {a}}}$