Kvaternioner

[[File:${\displaystyle \mathbb {H} }$|Mængden af kvaternioner
betegnes med bogstavet H
med dobbeltstreg (opkaldt
efter William Hamilton).px|class=noviewer|]] Kvaternioner (på engelsk quaternions) er en ikke-kommutativ udvidelse af de komplekse tal. Mængden af kvaternioner benævnes i matematikken med ${\displaystyle \mathbb {H} }$ efter deres opfinder den irske matematiker Sir William Rowan Hamilton. Matematisk set er kvaternionerne en 4-dimensionel normeret divisionsalgebra over de reelle tal.

Man kan opfatte de komplekse tal som en udvidelse af de reelle tal, hvor man har tilføjet elementet i (den imaginære enhed), der opfylder i² = -1. På samme måde kan man opfatte kvaternionerne som en udvidelse af de reelle tal, hvor man i stedet har tilføjet elementerne i, j og k, der opfylder

i² = j² = k² = ijk = -1.

Da multiplikation kan vises at være associativ, får man af ovenstående relation

• ij = k, ji = -k,
• jk = i, kj = -i,
• ki = j, ik = -j,

hvoraf det ses, at multiplikation ikke er kommutativ. Altså opfylder kvaternionerne ikke kravene til et legeme, sådan som de komplekse og reelle tal gør. Dog kommer de meget tæt på, og de siges derfor at udgøre en divisionsring, da man både kan lægge til, trække fra, gange og dividere som i ethvert legeme, dog under hensyn til at multiplikation ikke er kommutativ. Fx er x ⋅ y ⁻¹ ikke nødvendigvis det samme som y ⁻¹ ⋅ x, så skrivemåden x/y kan have to betydninger.