Bloch-Funktion

Die Bloch-Funktion oder Bloch-Welle (nach Felix Bloch) ist eine allgemeine Form für die Lösung der stationären Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem periodischen Potential, z. B. die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper (Bloch-Elektron).

Die Form dieser Wellenfunktionen $\psi$ wird durch das Bloch-Theorem festgelegt, welches ein Spezialfall des Floquet-Theorems ist:

Satz: Es sei ein periodisches Potential

V({\vec {r}})

mit der Periodizität

{\vec {R}}

gegeben:

V({\vec {r}})=V({\vec {r}}+{\vec {R}})

Dann existiert eine Basis von Lösungen der stationären Schrödingergleichung der Form

\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})=e^{\mathrm {i} {\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\cdot u_{\vec {k}}({\vec {r}})

mit

der Eulerschen Zahl $e$
der imaginären Einheit $\mathrm {i}$
einem beliebigen Vektor ${\vec {k}}$
einer vom Parameter ${\vec {k}}$ abhängigen periodischen Funktion $u_{\vec {k}}({\vec {r}})$ mit Periode ${\vec {R}}$ : $u_{\vec {k}}({\vec {r}})=u_{\vec {k}}({\vec {r}}+{\vec {R}})$

Die Periodizität des Potentials $V({\vec {r}})$ überträgt sich also auf $u_{k}({\vec {r}})$ und damit auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeit $|\psi ({\vec {r}})|^{2}=|\psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})|^{2}$ des betrachteten Teilchens im Potential. Für ein Elektron in so einem Energieeigenzustand ist daher die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in jeder Elementarzelle gleich groß und zeigt den gleichen räumlichen Verlauf. In einem kristallinen Festkörper ist die Periodizität gegeben durch das Kristallgitter, ${\vec {R}}$ ist ein Gittervektor. Ist das Potential zeitunabhängig, kann $u_{k}({\vec {r}})$ als reell angesetzt werden.