Chirurgie (Mathematik)

Chirurgie ist eine Methode in der Topologie von Mannigfaltigkeiten. Sie wurde von Milnor und Kervaire zur Klassifikation exotischer Sphären entwickelt und dann in Arbeiten von Browder, Nowikow, Sullivan und Wall zur Klassifikation höher-dimensionaler Mannigfaltigkeiten ausgebaut.

Die Grundidee der Chirurgie an einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist, aus einer ${\displaystyle n}$-dimensionalen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M^{n}}$ mit Einbettung

${\displaystyle S^{k}\times D^{n-k}\subset M^{n}}$

die Untermenge ${\displaystyle S^{k}\times D^{n-k}}$ zu entfernen und an der Stelle mit ${\displaystyle D^{k+1}\times S^{n-k-1}}$ zu ersetzen.

Dadurch entsteht eine neue ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit

${\displaystyle (M^{n})'={\overline {\left(M^{n}\setminus S^{k}\times D^{n-k}\right)}}\cup D^{k+1}\times S^{n-k-1},}$

wobei ${\displaystyle S^{k}}$ die ${\displaystyle k-}$Sphäre und ${\displaystyle D^{n-k}}$ die ${\displaystyle (n-k)-}$Kugel bezeichnet.