Euklidische Norm

Die euklidische Norm, Standardnorm oder 2-Norm ist eine in der Mathematik häufig verwendete Vektornorm. Im zwei- und dreidimensionalen euklidischen Raum entspricht die euklidische Norm der anschaulichen Länge oder dem Betrag eines Vektors und kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Allgemeiner wird die euklidische Norm auch für reelle und komplexe Vektorräume beliebiger endlicher Dimension definiert und ist dann die vom Standardskalarprodukt abgeleitete Norm.

Sie besitzt als eine von einem Skalarprodukt induzierte Norm neben den drei Normaxiomen eine Reihe weiterer Eigenschaften, wie die Gültigkeit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung und der Parallelogrammgleichung, sowie eine Invarianz unter unitären Transformationen. Für orthogonale Vektoren erfüllt die euklidische Norm selbst eine allgemeinere Form des Satzes des Pythagoras.

Von der euklidischen Norm werden Begriffe wie der euklidische Abstand und die euklidische Topologie abgeleitet. Sie kann auf unendlichdimensionale Vektorräume verallgemeinert werden, beispielsweise auf Folgenräume durch die ℓ²-Norm und auf Funktionenräume durch die L²-Norm.