Funktional

Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen (beispielsweise Einzelnachweisen) ausgestattet. Angaben ohne ausreichenden Beleg könnten demnächst entfernt werden. Bitte hilf Wikipedia, indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfügst.

Als Funktional bezeichnet man in der Mathematik in der Regel eine Funktion, deren Definitionsmenge als Teilmenge in einem Vektorraum enthalten ist, während ihre Zielmenge in dem zugehörigen Skalarkörper liegt.

Der Funktionalbegriff ist eng verbunden mit dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis, welches aus dem Studium solcher Funktionale hervorgegangen ist. Hier ist der untersuchte Vektorraum zumeist ein Funktionenraum, also ein Vektorraum, dessen Elemente reell- oder komplexwertige Funktionen sind, wobei diesen durch Funktionale Skalare zugeordnet werden. Vito Volterra schlug 1887 zum ersten Mal vor, beispielsweise die Bogenlänge als eine Funktion der Kurve aufzufassen, er sprach in diesem Zusammenhang von Funktionen, die „von anderen Funktionen abhängen“. Der Begriff des Funktionals selbst wird zuerst 1903 von Jacques Hadamard genutzt.^[1] Als bedeutendes Beispiel eines Funktionals kann das Lebesgue-Integral gelten.

Dieser Artikel behandelt die (am meisten untersuchten) Fälle, in denen als Skalarkörper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ der Körper der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder der Körper der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ zugrunde liegt und die Definitionsmenge des jeweiligen Funktionals mit dem Vektorraum ${\displaystyle V}$ zusammenfällt. Als grundlegende Unterscheidung ist dabei sinnvoll, lineare und nichtlineare Funktionale gesondert zu betrachten, da diese beiden Arten von Funktionalen auf sehr unterschiedliche Weise in der Mathematik behandelt werden.

1. ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). 8., vollständig überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-55406-7, S. 134.