Kompakter Raum

Kompaktheit ist ein zentraler Begriff der mathematischen Topologie, und zwar eine Eigenschaft, die einem topologischen Raum zukommt oder nicht. Sie wird in vielen mathematischen Aussagen vorausgesetzt – oft auch in abgeschwächter Form als Lindelöf-Eigenschaft oder Parakompaktheit. Lokalkompaktheit ist im Falle von Hausdorff-Räumen ebenfalls eine abgeschwächte Bedingung. Eine kompakte Menge nennt man je nach Kontext auch Kompaktum oder kompakter Raum; dabei ist unerheblich, ob sie Teilmenge eines Oberraums ist.

Einfache Beispiele für kompakte Mengen sind abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des Euklidischen Raums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ wie das Intervall ${\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} }$. Einfache Gegenbeispiele bilden die nicht kompakten Mengen ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {R} }$ (nicht beschränkt) oder ${\displaystyle \left[0,1\right[\subset \mathbb {R} }$ (nicht abgeschlossen).