Umkehrfunktion

In der Mathematik bezeichnet die Umkehrfunktion oder inverse Funktion einer bijektiven Funktion die Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist.

Eine Funktion ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ordnet jedem ${\displaystyle a\in A}$ ein eindeutig bestimmtes Element ${\displaystyle b\in B}$ zu, das mit ${\displaystyle f(a)}$ bezeichnet wird. Gilt für ${\displaystyle a\in A,b\in B}$ die Beziehung ${\displaystyle b=f(a)}$, so sagt man auch, dass ${\displaystyle a}$ ein Urbildelement von ${\displaystyle b}$ unter ${\displaystyle f}$ ist. Im Allgemeinen kann ein Element von ${\displaystyle B}$ kein, ein oder mehrere Urbildelemente unter ${\displaystyle f}$ besitzen. Falls jedes Element von ${\displaystyle B}$ genau ein Urbildelement unter ${\displaystyle f}$ besitzt (man spricht dann von dem Urbildelement), nennt man ${\displaystyle f}$ invertierbar. In diesem Fall kann man eine Funktion ${\displaystyle f^{-1}\colon B\to A}$ definieren, die jedem Element von ${\displaystyle B}$ ihr eindeutig definiertes Urbildelement unter ${\displaystyle f}$ zuordnet. Diese Funktion wird dann als die Umkehrfunktion von ${\displaystyle f}$ bezeichnet.

Man kann leicht nachweisen, dass eine Funktion genau dann invertierbar ist, wenn sie bijektiv (also gleichzeitig injektiv und surjektiv) ist. Tatsächlich besagt die Injektivität nichts anderes, als dass jedes Element von ${\displaystyle B}$ höchstens ein Urbildelement unter ${\displaystyle f}$ besitzt. Die Surjektivität besagt gerade, dass jedes Element von ${\displaystyle B}$ mindestens ein Urbildelement unter ${\displaystyle f}$ besitzt.

Der Begriff der Umkehrfunktion gehört formal zum mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre, wird aber in vielen Teilgebieten der Mathematik verwendet.