Urnenmodell

Ein Urnenmodell ist ein Gedankenexperiment, das in der Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Kombinatorik verwendet wird, um verschiedene Zufallsexperimente auf einheitliche und anschauliche Weise zu modellieren. Dazu wird ein fiktives Gefäß, Urne genannt, mit einer bestimmten Anzahl an Kugeln gefüllt, die anschließend zufällig gezogen werden. Damit ist gemeint, dass bei jedem Zug alle in der Urne befindlichen Kugeln die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, ausgewählt zu werden. Dadurch kann die Bestimmung interessierender Wahrscheinlichkeiten auf die Lösung kombinatorischer Abzählprobleme zurückgeführt werden.

Im einfachsten Urnenmodell unterscheidet man Ziehungen mit Zurücklegen, bei denen jede Kugel nach ihrer Registrierung wieder in die Urne zurückgelegt wird, von Ziehungen ohne Zurücklegen, bei denen eine einmal gezogene Kugel nicht wieder zurückgelegt wird. Bei der Registrierung der gezogenen Kugeln unterscheidet man, ob die Reihenfolge der gezogenen Kugeln entweder beachtet oder nicht beachtet, d. h. außer Acht gelassen wird.

Viele wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, wie beispielsweise die diskrete Gleichverteilung, die Binomialverteilung, die Bernoulli-Verteilung, die hypergeometrische Verteilung, die negative Binomialverteilung, die geometrische Verteilung, die negative hypergeometrische Verteilung, die Multinomialverteilung oder die multivariate hypergeometrische Verteilung, können mit Hilfe von Urnenmodellen hergeleitet und veranschaulicht werden.