Zwischenwertsatz

In der reellen Analysis ist der Zwischenwertsatz ein wichtiger Satz über den Wertebereich von stetigen Funktionen.

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion ${\displaystyle f}$, die auf einem abgeschlossenen Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ stetig ist, jeden Wert zwischen ${\displaystyle f(a)}$ und ${\displaystyle f(b)}$ annimmt. Haben insbesondere ${\displaystyle f(a)}$ und ${\displaystyle f(b)}$ verschiedene Vorzeichen, so garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer Nullstelle von ${\displaystyle f}$ im offenen Intervall ${\displaystyle (a,b)}$. Dieser Sonderfall ist als Nullstellensatz von Bolzano bekannt und nach Bernard Bolzano benannt. Andererseits kann der Zwischenwertsatz aber auch aus dem Nullstellensatz hergeleitet werden. Die beiden Formulierungen sind also äquivalent.