Delta de Kronecker

En matemáticas, la delta de Kronecker (llamada así en referencia al matemático alemán Leopold Kronecker) es una función de dos variables, generalmente solo números enteros no negativos. La función vale 1 si las dos variables son iguales y 0 en caso contrario:

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{si }}i\neq j,\\1&{\text{si }}i=j.\end{cases}}}$

o con el uso de corchetes de Iverson:

${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,}$

donde la delta de Kronecker δ_ij es una función definida a intervalos de las variables i y j. Por ejemplo, δ_1 2 = 0, mientras que δ_3 3 = 1.

La delta de Kronecker aparece de forma natural en muchas áreas de las matemáticas, la física y la ingeniería, como un medio para expresar de manera compacta su definición anterior.

En álgebra lineal, la matriz identidad I de orden n × n tiene entradas iguales a la delta de Kronecker:

${\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}}$

donde i y j toman los valores 1, 2, ..., n, y el espacio prehilbertiano de vectores se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.}$

Aquí los vectores euclídeos se definen como n-tuplas: ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},...,a_{n})}$ y ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})}$ y el último paso se obtiene utilizando los valores de la delta de Kronecker para reducir la suma sobre j.

La restricción a números enteros positivos o no negativos es común, pero de hecho, la delta de Kronecker se puede definir en un conjunto arbitrario.