Paradoja de Banach-Tarski

¿Puede descomponerse una bola en un número finito de conjuntos de puntos y reensamblarse para dar como resultado dos bolas idénticas a la original?

La paradoja de Banach–Tarski es un teorema en geometría teórica de conjuntos cuyo enunciado es el siguiente:

Dada una bola en el espacio tridimensional, existe una descomposición de la bola en un número finito^[1] de piezas no solapadas (es decir, subconjuntos disjuntos), que pueden juntarse de nuevo de manera diferente para dar dos copias idénticas de la bola original. Todavía más, el proceso de reensamblaje requiere únicamente remover las piezas y rotarlas, sin cambiar su forma. Sin embargo, las mismas piezas no son "sólidas" en el sentido habitual, sino dispersiones de infinitos puntos.

A continuación vemos una versión más contundente del teorema:

Dados dos objetos "razonablemente" sólidos (como una bola pequeña y una grande), cada una puede ser reensamblada en la otra.

Informalmente esto se dice con frecuencia de la siguiente forma:

Un guisante puede trocearse y reensamblarse para formar el Sol.

Esta última forma se llama la "paradoja del guisante y el Sol."

La razón por la que se considera una paradoja a este teorema es porque contradice la intuición geométrica básica. "Doblar la bola" dividiéndola en partes y removiéndolas por rotaciones, sin ningún estiramiento, curvatura, o adición de nuevos puntos, parece ser imposible, ya que todas estas operaciones conservan el volumen.

Al contrario de la mayoría de teoremas de geometría, este resultado depende de forma crítica de la elección de los axiomas de la teoría de conjuntos. Únicamente puede demostrarse usando el axioma de elección,^[2] que permite la construcción de conjuntos no medibles, es decir, colecciones de puntos que no tienen un volumen en el sentido ordinario y que para su construcción requerirían un número infinito de elecciones.

En 2005 se demostró que las piezas de la descomposición pueden elegirse de tal forma que puedan moverse continuamente sin solaparse entre sí.^[3]

↑ Cinco piezas serán suficientes; Tao, Terence (2011). «An introduction to measure theory» (en inglés). p. 3.
↑ Wagon, Corolario 13.3
↑ Wilson, Trevor M. (Septiembre de 2005). «A continuous movement version of the Banach–Tarski paradox: A solution to De Groot's problem». Journal of Symbolic Logic (en inglés) (3 edición) 70: 946-952. JSTOR 27588401. doi:10.2178/jsl/1122038921. (en inglés)

[1] Cinco piezas serán suficientes; Tao, Terence (2011). «An introduction to measure theory» (en inglés). p. 3.

[2] Wagon, Corolario 13.3

[3] Wilson, Trevor M. (Septiembre de 2005). «A continuous movement version of the Banach–Tarski paradox: A solution to De Groot's problem». Journal of Symbolic Logic (en inglés) (3 edición) 70: 946-952. JSTOR 27588401. doi:10.2178/jsl/1122038921. (en inglés)

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