Algebraline muutkond

Algebraline muutkond klassikalises mõttes on mõne reaalarvluliste või kompleksarvuliste muutujatega algebraliste võrrandite süsteemi kõigi lahendite hulk.^[1]

Iga algebraline muutkond on seega kõikide selliste punktide hulk, mille koordinaadid ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ rahuldavad mõnd võrrandisüsteemi

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,\\f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots ,\\f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,\end{array}}\right.}$

kus ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{m}}$ on polünoomid.

Tänapäeva algebralises geomeetrias on algebralise muutkonna mõistet mitmel viisil üldistatud, püüdes säilitada sellele definitsioonile vastavat geomeetrilist intuitsiooni.

Algebralise muutkonna mõiste erineb sileda muutkonna mõistest selle poolest, et algebralisel muutkonnal võib olla iseäraseid punkte. Reaalarvulise algebralise muutkonna ümbrus on isomorfne sileda muutkonnaga.

1800. aasta paiku tõestatud algebra põhiteoreem tegi kindlaks algebra ja geomeetria vahelise seose, näidates, et ühe muutuja taandatud polünoom (algebraline objekt) on üheselt määratud oma kompleksarvuliste juurtega, s.o lõpliku punktihulgaga komplekstasandil (geomeetria objekt). Hilberti teoreem nullkohtadest üldistas seda tulemust ning tegi kindlaks fundamentaalse vastavuse polünoomide ringi ideaalide ja algebraliste muutkondade vahel. Kasutades Hilberti teoreemi nullkohtadest ja sellega seotud tulemusi, tegid matemaatikud kindlaks vastavuse algebraliste muutkondadega seotud küsimuste ning ringiteooria küsimuste vahel; selliste vastavuste kasutamine on algebralise geomeetria eripära.