Luonnollinen logaritmi

Luonnollinen logaritmi on logaritmifunktio, jonka kantaluku on Neperin luku e, eräs irrationaalinen ja transsendenttinen matemaattinen vakio, likiarvoltaan 2,718 281 828. Luvun x luonnollinen logaritmi voidaan merkitä log_e x, mutta tavallisesti sille käytetään merkintää ln x, joskus myös yksinkertaisesti log x.^[1] Selvyyden vuoksi merkintään liitetään toisinaan sulku­merkit: ln(x), log_e(x) tai log(x) Näin menetellään varsinkin, jos funktion argumenttina ei ole yksittäinen luku tai symboli vaan lauseke.

Luvun x luonnollinen logaritmi on se eksponentti, jonka osoittamaan potenssiin e on korotettava, jotta saadaan luku x. Esimerkiksi ln 7,5 on noin 2,0149, koska e^2,0149 on noin 7,5. Neperin luvun e luonnollinen logaritmi on ln e = 1, koska e¹ = e, ja ln 1 = 0, koska e⁰ = 1.

Luonnollinen logaritmifunktio on siis eksponenttifunktion e^x käänteisfunktio, jolle pätevät:

${\displaystyle e^{\ln(x)}=x\qquad }$

${\displaystyle \ln(e^{x})=x.\,\!}$,

ylempi näistä edellyttäen, että x > 0.

Luonnollinen logaritmi on määritelty kaikille positiivisille reaali­luvuille. Luvun a luonnollinen logaritmi voitaisiin yhtäpitävästi määritellä myös sen alueen pinta-alana, joka jää x-akselin, käyrän y = 1/x sekä suorien x = 1 ja 'x = a väliin, tai jos a < 1, tämän pinta-alan vastalukuna. Tämän määritelmän yksinkertaisuus sekä monet muut kaavat, joissa luonnollinen logaritmi esiintyy, ovat johtaneet siihen, että sitä on alettu nimittään "luonnolliseksi".

Luonnollisen logaritmin määritelmää voidaan laajentaa niin, että logaritmi voidaan ottaa myös negatiivisista luvuista ja kaikista kompleksi­luvuista nollaa lukuun ottamatta, joskin tällöin logaritmista tulee moniarvoinen funktio.

Kaikkien logaritmien tavoin luonnolliselle logaritmille pätee, että kahden luvun tulon logaritmi on lukujen logaritmien summa:

${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).\!\,}$

Täten logaritmi tavallaan muuntaa kertolaskun yhteenlaskuksi. Logaritmifunktio onkin isomorfismi positiivisten reaalilukujen ryhmästä, jossa laskutoimituksena on kertolasku, kaikkien reaalilukujen ryhmälle, jossa laskutoimituksena on yhteenlasku:

${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} .}$

Logaritmifunktion kantalukuna voi olla, paitsi e, mikä tahansa muukin positiivinen reaaliluku, ei kuitenkaan luku 1. Eri logaritmifunktioita erottaa toisistaan kuitenkin vain vakiokerroin, ja muut logaritmit määritelläänkin usein luonnollisen logaritmin avulla:

log_b a = ln a / ln b.

Esimerkiksi jokaisen luvun binäärinen eli kaksi­kantainen logaritmi saadaan jakamalla luvun luonnollinen logaritmi luvulla ln 2, luvun 2 luonnollisella logaritmilla ja vastaavasti Briggsin eli kymmen­kantainen logaritmi jakamalla luonnollinen logaritmi luvulla ln 10.

Logaritmeja tarvitaan sellaisten yhtälöiden ratkaisemiseen, joiden eksponentissa esiintyy tuntematon. Niitä sovelletaan varsinkin tapauksiin, joissa jokin suure kasvaa tai vähenee eksponentiaalisesti jonkin toisen suureen, esimerkiksi ajan funktiona. Niillä on runsaasti sovelluksia luonnon­tieteissä ja myös monissa taloudellisissa yhteyksissä kuten koron­korkoon liittyvissä laskuissa.

Luonnollinen logaritmi
Merkintä	${\displaystyle \ln x\,}$
Käänteisfunktio	${\displaystyle e^{x}\,}$
Derivaatta	${\displaystyle {\frac {1}{x}}\,}$
Integraalifunktio	${\displaystyle x\ln x-x+C\,}$

1. ↑ Robert G. Mortimer: Mathematics for physical chemistry, 3. painos, s. 9. Academic Press, 2005. ISBN 0-12-508347-5. Teoksen verkkoversio.