Loi de Zipf

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Loi de Zipf
Fonction de masse pour N = 10 dans un repère log-log. L'axe horizontal est l'indice k (la fonction est discrète, les droites de couleur n'indiquent pas de continuité).
Fonction de répartition pour N = 10. L'axe horizontal est l'indice k (la fonction est discrète, les courbes de couleur n'indiquent pas de continuité).
Paramètres	${\displaystyle s>0\,}$ ${\displaystyle N\in \{1,2,3\ldots \}}$
Support	${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots ,N\}}$
Fonction de masse	${\displaystyle {\frac {1}{H_{N,s}}}{\frac {1}{k^{s}}}}$
Fonction de répartition	${\displaystyle {\frac {H_{k,s}}{H_{N,s}}}}$
Espérance	${\displaystyle {\frac {H_{N,s-1}}{H_{N,s}}}}$
Mode	${\displaystyle 1\,}$
Entropie	${\displaystyle {\frac {s}{H_{N,s}}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {\ln(k)}{k^{s}}}+\ln(H_{N,s})}$
Fonction génératrice des moments	${\displaystyle {\frac {1}{H_{N,s}}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {e^{nt}}{n^{s}}}}$
Fonction caractéristique	${\displaystyle {\frac {1}{H_{N,s}}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {e^{int}}{n^{s}}}}$
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La loi de Zipf est une observation empirique concernant la fréquence des mots dans un texte. Elle a pris le nom de son auteur, George Kingsley Zipf (1902-1950). Cette loi a d'abord été formulée par Jean-Baptiste Estoup^[1] et a été par la suite démontrée à partir de formules de Shannon par Benoît Mandelbrot. Elle est parfois utilisée en dehors de ce contexte, par exemple au sujet de la taille et du nombre des villes dans chaque pays, lorsque cette loi semble mieux répondre aux chiffres que la distribution de Pareto^[2].