Evoluzione di Schramm-Loewner

In teoria delle probabilità, l'evoluzione di Schramm-Loewner con parametro κ, nota anche come evoluzione di Loewner stocastica (SLE_κ), è una famiglia di curve aleatorie del piano per le quali è stato dimostrato essere il limite di scaling di una varietà di modelli bidimensionali su reticolo in meccanica statistica. Dato un parametro κ e un dominio nel piano complesso U, fornisce una famiglia di curve random in U, con κ che controlla di quanto "gira" la curva. Esistono due varianti principali di SLE, SLE cordale che fornisce una famiglia di curve random dati due punti fissi limite e SLE radiale, che fornisce una famiglia di curve random da un punto fisso limite a un punto fisso interno. Queste curve sono definite in modo da soddisfare invarianza conforme e Markovianità del dominio.

Fu scoperta da Oded Schramm nel 2000^[1], ipotizzata come limite di scaling dell'albero ricoprente uniforme planare (UST) e dei processi probabilistici del loop-erased random walk nel piano (LERW), e sviluppato da lui insieme a Greg Lawler e Wendelin Werner in una serie di articoli congiunti.

Oltre a UST e LERW, l'evoluzione di Schramm-Loewner è congetturata o dimostrata essere in grado di descrivere il limite di scaling di vari processi stocastici nel piano, come la percolazione critica, il modello di Ising critico, il modello a doppio dimero, le passeggiate autoevitanti e altri modelli critici di meccanica statistica che mostrano invarianza conforme. Le curve SLE sono i limiti di scaling delle interfacce e di altre curve casuali non auto-intersecanti presenti in questi modelli. L'idea principale è che l'invarianza conforme e una certa proprietà di Markov, inerente a tali processi stocastici, messe insieme rendono possibile esprimere queste curve planari in termini di un moto browniano unidimensionale che corre lungo la frontiera del dominio (la funzione di driving nell'equazione differenziale di Loewner). In questo modo, molti interrogativi importanti sui modelli nel piano possono essere tradotti in esercizi di calcolo alla Itō. In effetti, diverse previsioni matematicamente non rigorose effettuate dai fisici, che utilizzano la teoria dei campi conformi, sono state dimostrate utilizzando questa strategia.