Rappresentazione dei gruppi

La teoria delle rappresentazioni dei gruppi è il settore della matematica che studia le proprietà dei gruppi attraverso le loro rappresentazioni come trasformazioni lineari di spazi vettoriali. La teoria delle rappresentazioni riveste grande importanza, in quanto consente di ridurre molti problemi di teoria dei gruppi a problemi di algebra lineare, area della matematica per la quale sono ben conosciuti risultati generali e sono disponibili algoritmi dotati di efficienti implementazioni. La teoria delle rappresentazioni dei gruppi è molto importante anche in fisica, in particolare perché viene usata per descrivere come il gruppo di simmetria di un sistema fisico influenza le soluzioni delle equazioni che reggono il sistema stesso.

Si possono definire delle rappresentazioni anche per altre strutture matematiche, come per le algebre associative, le algebre di Lie e le algebre di Hopf; in questa voce con rappresentazioni e teoria delle rappresentazioni ci si riferirà solo a rappresentazioni dei gruppi.

L'espressione rappresentazione di un gruppo viene utilizzata anche in una accezione più generale come descrizione di un gruppo inteso come gruppo di trasformazioni di una configurazione di oggetti matematici. In maniera più formale, una rappresentazione del gruppo G è un omomorfismo di G nel gruppo degli automorfismi degli oggetti. Se si tratta di uno spazio vettoriale abbiamo una rappresentazione lineare. A volte si usa il termine realizzazione per la nozione generale e si riserva il termine rappresentazione al caso speciale delle rappresentazioni lineari. In questa voce si tratta per lo più la teoria delle rappresentazioni lineari; l'accezione generale viene descritta nell'ultima sezione.