Harmonische analyse

Harmonische analyse is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met het onderzoeken van de verbanden tussen een functie en de representatie ervan in frequentie. De frequentierepresentatie wordt gevonden door de fouriertransformatie te gebruiken voor functies op de echte lijn of door fourierreeksen voor periodieke functies. Het veralgemenen van deze transformaties naar andere domeinen wordt over het algemeen fourieranalyse genoemd, hoewel de term soms door elkaar wordt gebruikt met harmonische analyse. Harmonische analyse is een uitgebreid onderwerp geworden met toepassingen op uiteenlopende gebieden, zoals getaltheorie, representatietheorie, signaalverwerking, kwantummechanica, getijdenanalyse en neurowetenschappen.

De term "harmonisch" is ontstaan als het Oudgriekse woord harmonikos, wat "bedreven in muziek" betekent. Bij fysieke eigenwaardeproblemen begon het golven te betekenen waarvan de frequenties gehele veelvouden van elkaar zijn, evenals de frequenties van de harmonischen van muzieknoten. Toch is de term veralgemeend buiten zijn oorspronkelijke betekenis.

De klassieke fouriertransformatie op Rⁿ is nog steeds een gebied van lopend onderzoek, vooral met betrekking tot fouriertransformatie op meer algemene objecten zoals getemperde distributies. Als we bijvoorbeeld enkele eisen stellen aan een distributie f, kunnen we proberen deze eisen te vertalen in de fouriertransformatie van f. De stelling van Paley-Wiener is een voorbeeld. De stelling van Paley-Wiener impliceert onmiddellijk dat als f een niet-nuldistributie met een compacte drager is, de fouriertransformatie nooit compact wordt gedragen (dat wil zeggen, als een signaal beperkt is in één domein, is het onbeperkt in de andere). Dit is een elementaire vorm van een onzekerheidsprincipe in een harmonische analyseomgeving.

Fourierreeksen kunnen gemakkelijk worden bestudeerd in de context van hilbertruimten, die een verband leggen tussen harmonische analyse en functionaalanalyse. Er zijn vier versies van de fouriertransformatie, afhankelijk van de ruimtes die door de transformatie worden gebruikt:

• discreet/periodiek–discreet/periodiek: discrete fouriertransformatie,
• continu/periodiek–discreet/aperiodiek: fourierreeks,
• discreet/aperiodisch–continu/periodiek: fouriertransformatie in discrete tijd,
• continu/aperiodisch–continu/aperiodisch: fouriertransformatie.