Niet-euclidische meetkunde

Niet-euclidische meetkunde is meetkunde waarbij het vijfde postulaat van Euclides (het parallellenpostulaat) niet wordt aangenomen.

Euclides ging bij zijn meetkunde uit van een aantal postulaten (axioma's). De meeste daarvan zijn eenvoudig, maar het vijfde vormt een uitzondering. Het postulaat heeft diverse vormen, maar de bekendste is waarschijnlijk "Gegeven een rechte l en een punt P dat niet op l ligt, dan is er in het vlak door l en P maar één rechte door P die l niet snijdt." (Euclides' oorspronkelijke vorm was gecompliceerder.)

Er zijn twee typen niet-euclidische meetkunde:

• In hyperbolische meetkunde gaan er door P oneindig veel lijnen die l niet snijden.
• In elliptische meetkunde gaat er door P geen lijn die l niet snijdt: alle lijnen snijden elkaar.

Overigens is het voor elliptische meetkunde nodig ook andere postulaten van Euclides aan te passen.

Lange tijd heeft men geprobeerd het parallellenpostulaat te bewijzen uit de andere axioma's, maar achteraf bleken alle bewijzen fout, doordat er ergens toch een 'evident' feit was gebruikt dat echter niet uit de overblijvende axioma's volgt, en dus equivalent was aan het parallellenpostulaat.

In de 19e eeuw werd de stap genomen het parallellenpostulaat te laten vallen. Drie wiskundigen: de Rus Nikolaj Ivanovitsj Lobatsjevski (publicatie in 1829), de Hongaar János Bolyai (publicatie in 1832) en de Duitser Carl Friedrich Gauss (ongepubliceerd, maar voor 1832) ontdekten ieder voor zich de principes van de hyperbolische meetkunde. In 1733 had overigens Giovanni Saccheri al een flink aantal stellingen afgeleid, in een poging het parallellenpostulaat door middel van reductio ad absurdum te bewijzen. De elliptische meetkunde werd geïntroduceerd door Bernhard Riemann in 1854, als onderdeel van een veel grotere klasse van meetkunden (zie de riemann-meetkunde).