Symmetriegroep

In de groepentheorie is de symmetriegroep van een object in een, twee of drie dimensies de groep van zijn symmetriën. Een symmetrie is een afbeelding die het object op zichzelf afbeeldt (invariant laat) en daarbij de afstanden behoudt (isometrie). De bewerking in de groep is de samenstelling van afbeeldingen. Als object komen zeer algemeen niet alleen concrete objecten, zoals voorwerpen, gebouwen e.d. in aanmerking, maar ook wiskundige concepten als meetkundige figuren en patronen.

Zo bestaat bijvoorbeeld de symmetriegroep van een gelijkzijdige driehoek in het platte vlak uit de identiteit, de draaiingen om het zwaartepunt over 120° en 240°, en de spiegelingen om de hoogtelijnen.

De symmetriegroep is een isometriegroep, dus een subgroep van de euclidische groep ${\displaystyle E(n)}$. Deze moet worden onderscheiden van de abstracte (algebraïsche) groep: verschillende symmetriegroepen kunnen als abstracte groep gelijk zijn. Dit wordt ook aangeduid met het hebben van dezelfde abstracte structuur of dezelfde algebraïsche structuur.

Men kan zich een voorstelling maken van een symmetriegroep door de symmetrieën na te gaan van een concrete tweedimensionale figuur of een driedimensionaal object. Soms kan men hetzelfde object gebruiken voor het beschrijven van meerdere symmetrieën, door verschillende beschilderingen van het object te onderscheiden.