Transcendent getal

Een reëel getal, of algemener een complex getal, ${\displaystyle t}$ noemt men transcendent als ${\displaystyle t}$ niet het nulpunt is van een polynoom van eindige graad ${\displaystyle n\geq 1}$ met geheeltallige of algemener rationale coëfficiënten ${\displaystyle a_{k}}$. Voor al dergelijke polynomen geldt dus:

${\displaystyle a_{n}t^{n}+\ldots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}\neq 0}$

Een getal dat wel het nulpunt van een polynoom is, heet een algebraïsch getal. Een transcendent getal is een getal dat niet algebraïsch is.

Ieder transcendent getal is irrationaal, want een rationaal getal is een oplossing van een lineaire vergelijking met geheeltallige coëfficiënten, dus algebraïsch.

Een transcendent getal kan op de getallenlijn of in het complexe vlak niet door een constructie met passer en liniaal worden aangegeven.

Er zijn overaftelbaar veel transcendente getallen en maar aftelbaar veel algebraïsche getallen. Dit geldt ook op een interval. Daaruit volgt dat een stochastische variabele met continue uniforme verdeling bijna zeker transcendent is.

Een transcendent getal is, zoals opgemerkt, een irrationaal getal, maar niet ieder irrationaal getal is transcendent. Bijvoorbeeld ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ is irrationaal en algebraïsch.