Grupa SU(2)

Grupa SU(2), czyli specjalna grupa unitarna rzędu 2 – grupa macierzy unitarnych o wyznaczniku równym 1.

Reprezentacja fundamentalna tej grupy składa się z macierzy wymiaru ${\displaystyle 2\times 2,}$ o wyrazach ze zbioru liczb zespolonych, tj.

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}x&-{\overline {y}}\\y&{\overline {x}}\end{pmatrix}}:\ \ x,y\in \mathbf {C} ,|x|^{2}+|y|^{2}=1\right\},}$

gdzie np. ${\displaystyle {\overline {x}}}$ to liczba sprzężona do ${\displaystyle x.}$

Inne reprezentacje grupy tworzą macierze wyższego wymiaru, przy tym ich generatory spełniają identyczne warunki komutacyjne jak generatory reprezentacji fundamentalnej (omówiono to w artykule).

Działaniem grupowym w każdej reprezentacji jest operacja mnożenia macierzy. Elementem neutralnym grupy w danej reprezentacji jest macierz jednostkowa (o wymiarze równym wymiarowi macierzy tej reprezentacji). Elementem odwrotnym jest macierz odwrotna dodanej macierzy.

Grupa ${\displaystyle SU(2)}$ jest podgrupą w grupie macierzy unitarnych ${\displaystyle U(2),}$ która z kolei jest podgrupą pełnej grupy liniowej ${\displaystyle GL(2,\mathbb {C} ).}$ Centrum grupy ${\displaystyle SU(2)}$ jest izomorficzne z grupą cykliczną ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}.}$