Newtons metod

Newtons metod, eller Newton–Raphsons metod (efter Isaac Newton och Joseph Raphson) är en numerisk metod för att approximera nollställen till en funktion. Man använder alltså en numerisk metod för att hitta en rot till en ekvation, vilken går ut på att man väljer en punkt på kurvan som man räknar ut tangenten för. Det x-värde vid vilket tangenten skär x-axeln används sedan för att räkna ut en ny tangent i en iterativ process till dess att önskad noggrannhet uppnåtts.

Tangenten till en funktion ${\displaystyle f(x)}$ i punkten ${\displaystyle x_{0}}$ har enligt enpunktsformeln ekvationen

${\displaystyle y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).}$

Den skär x-axeln då y = 0, dvs:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})\\x-x_{0}&=-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}\\x&=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}.\end{aligned}}}$

Iterationsformeln blir alltså

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.}$