Logaritam

U matematici, logaritam je inverzna operacija za eksponenciju. To znači da je logaritam broja ustvari eksponent za koju određena fiksna vrijednost, baza, mora biti stepenovana da proizvede taj broj. U jednostavnim slučajevima logaritam se smatra ponovljenim množenjem. Naprimjer, baza 10 logaritma od 1000 jeste 3, jer 10 stepenovan brojem 3 daje 1000 (1000 = 10 × 10 × 10 = 10³); multiplikacija se ponavlja tri puta. Općenitije, eksponencija dopušta bilo kojem realnom broju da se podigne na bilo koji realan stepen, uvijek proizvodeći pozitivan rezultat, tako da se logaritam može izračunati za bilo koja dva pozitivna realna broja b i x gdje b nije jednako 1. Logaritam od x za bazu b, piše se log_b(x), jedinstven je realan broj y takav da vrijedi

b^y = x.

Naprimjer, pošto je 64 = 2⁶, onda je:

log₂(64) = 6

Logaritam za bazu 10 (gdje je b = 10) zove se opći algoritam i ima nekoliko primjena u nauci i inženjerstvu. Prirodni logaritam ima broj e (≈ 2.718) kao bazu; njegova primjena je raširena u matematici i fizici, zbog svog jednostavnijeg izvoda. Binarni logaritam koristi bazu 2 (gdje je b = 2) i često se koristi u računarstvu.

Logaritme je uveo John Napier početkom 17. vijeka radi pojednostavljenja proračuna. Oni se uveliko koriste od strane navigatora, naučnika, inženjera i ostalih kako bi se računarski proračuni izvršavali mnogo lakše, koristeći logaritmar i logaritamske tablice. Zamorno višecifreno množenje mogu zamijeniti tablice s jednostavnim sabiranjem zbog činjenice — veoma važne — da je logaritamski proizvod zapravo zbir logaritama faktora:

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y),\,}$

gdje su b, x i y svi pozitivni i b ≠ 1. Današnji pojam logaritma dolazi od Leonharda Eulera, koji je napravio vezu između logaritama i eksponencijalne funkcije u 18. vijeku.

Logaritamska skala smanjuje širok spektar veličina na manje prostora. Naprimjer, decibel je mjerna jedinica jačine signala snage log-odnosa i amplitude log-odnosa (od kojih je zvučni pritisak čest primjer). U hemiji, pH je logaritamska mjera za kiselost vodene otopine. Logaritmi su uobičajena u naučnim formulama, te u mjerama kompleksnosti algoritama i geometrijskih objekata zvanih fraktali. Oni opisuju muzičke intervale, pojavljuju se u formulama brojeći proste brojeve, informišu neke modele u psihofizici, te mogu pomoći u forenzičkom računovodstvu.

Na isti način kako logaritam služi eksponenciji, kompleksni logaritam je inverzna funkcija eksponencijalne funkcije primijenjene na kompleksne brojeve. Diskretni logaritam je naredna varijanta; koristi se u asimetričnoj kriptografiji.