Beta-jakauma

Beta-jakauma

Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Merkintä	${\displaystyle Beta(\alpha ,\beta )}$
Parametrit	${\displaystyle \alpha ,\beta \in [0,\infty )}$
Määrittelyjoukko	${\displaystyle x\in [0,1]}$
Tiheysfunktio	${\displaystyle {\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}$
Kertymäfunktio	${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta ))}$
Odotusarvo	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}$
Moodi	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}$
Varianssi	${\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$
Vinous	${\displaystyle {\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}$
Huipukkuus	${\displaystyle {\frac {6[\alpha ^{3}+\alpha ^{2}(1-2\beta )+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}$
Entropia	${\displaystyle {\begin{matrix}\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )\\[0.5em]+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{matrix}}}$
Momentit generoiva funktio	${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$
Karakteristinen funktio	${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!}$ (katso hypergeometrinen funktio)
Fisherin informaatiomatriisi	${\displaystyle {\begin{matrix}\\\operatorname {var} [\ln X]&\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]\\\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]&\operatorname {var} [\ln(1-X)]\end{matrix}}}$

Beta-jakauma^[1] eli ${\displaystyle \beta -}$jakauma^[2] on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jota käytetään bayesilaisessa todennäköisyyslaskennassa. Koska Beta-jakaumaa voi parametrisoida monella eri tavalla, sitä voidaan kutsua jakaumaperheeksi. Sen avulla voidaan esittää lähes kaikki äärelliselle välille konsentroituneet jakaumat.^[1][2]

Jos satunnaismuuttuja ${\displaystyle X}$ on Beta-jakautunut parametreillä ${\displaystyle \alpha }$ ja ${\displaystyle \beta }$, merkitään se yleensä

${\displaystyle X\sim Beta(\alpha ,\beta )}$^[1] ${\displaystyle \sim Be(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \sim \beta _{\alpha ,\beta }.}$

1. ↑ ^{a b c} Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti;viitettä mellin407 ei löytynyt
2. ↑ ^{a b} Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti;viitettä oulu ei löytynyt