Grupoid

Dalam matematika, terutama dalam teori kategori dan teori homotopi, grupoid (disebut juga grupoid Brandt atau grup virtual ) menggeneralisasi pengertian grup dalam beberapa cara yang setara. Grupoid dapat dilihat sebagai:

• Grup dengan fungsi parsial menggantikan operasi biner;
• Kategori dimana setiap morfisme invers. Kategori dilihat sebagai ditambah dengan operasi uner, yang disebut invers dengan analogi teori grup.^[1] Grupoid dimana terdapat satu objek adalah grup biasa.

Dengan pengetikan dependen, kategori secara umum dilihat sebagai jenis monoid, dan demikian pula, grupoid dilihat sebagai grup diketik. Morfisme satu dari satu objek ke objek lain, dan membentuk keluarga tipe dependen, sehingga morfisme dapat ditulis${\displaystyle g:A\rightarrow B}$, ${\displaystyle h:B\rightarrow C}$. Komposisi kemudian menjadi fungsi total: ${\displaystyle \circ :(B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow A\rightarrow C}$, maka ${\displaystyle h\circ g:A\rightarrow C}$.

Kasus khusus meliputi:

• Setoid: himpunan dengan relasi ekivalensi,
• himpunan-G : himpunan dengan grup aksi ${\displaystyle G}$.

Grupoid digunakan untuk bernalar tentang objek geometris dengan lipatan. Heinrich Brandt (1927) memperkenalkan grupoid secara implisit melalui semigrup Brandt.^[2]

1. ^ Dicks & Ventura (1996). The Group Fixed by a Family of Injective Endomorphisms of a Free Group. hlm. 6.
2. ^ Brandt semigroup Diarsipkan 2011-08-27 di Wayback Machine. in Springer Encyclopaedia of Mathematics - ISBN 1-4020-0609-8