Homotopiegruppe

In der Mathematik, genauer in der algebraischen Topologie, sind die Homotopiegruppen ein Werkzeug, um topologische Räume zu klassifizieren. Die stetigen Abbildungen einer n-dimensionalen Sphäre in einen gegebenen Raum werden zu Äquivalenzklassen, den sogenannten Homotopieklassen, zusammengefasst. Dabei heißen zwei Abbildungen homotop, wenn sie stetig ineinander überführt werden können. Diese Homotopieklassen bilden eine Gruppe, die n-te Homotopiegruppe des Raumes genannt wird.

Anschaulich kann die Homotopiegruppe ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ als Maß dafür verstanden werden, auf wie viele wesentlich unterschiedliche Arten die ${\displaystyle S^{n}}$ in den Raum ${\displaystyle X}$ abgebildet werden kann.^[1]

Die erste Homotopiegruppe heißt auch Fundamentalgruppe.

Homotopieäquivalente topologische Räume haben isomorphe Homotopiegruppen. Haben zwei Räume verschiedene Homotopiegruppen, so können sie nicht homotopieäquivalent sein, somit auch nicht homöomorph. Für CW-Komplexe gilt nach einem Satz von Whitehead auch eine partielle Umkehrung.

1. ↑ Fridtjof Toenniessen: Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie. Springer Berlin Heidelberg, 2017, ISBN 978-3-662-54963-6 (google.com [abgerufen am 31. Dezember 2021]).