Laurent-Reihe

Die Laurent-Reihe (nach Pierre Alphonse Laurent) ist eine unendliche Reihe ähnlich einer Potenzreihe, aber zusätzlich mit negativen Exponenten. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in ${\textstyle x}$ mit Entwicklungspunkt ${\textstyle c}$ diese Gestalt:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$

Dabei sind die ${\textstyle a_{n}}$ und ${\textstyle c}$ meist komplexe Zahlen, es gibt aber auch andere Möglichkeiten, die im Abschnitt Formale Laurent-Reihe weiter unten beschrieben sind. Für komplexe Laurent-Reihen benutzt man meist die Variable ${\textstyle z}$ anstatt ${\textstyle x}$.

Summanden, deren Koeffizient ${\textstyle a_{n}=0}$ ist, werden meist nicht mitgeschrieben, daher muss nicht jede Laurent-Reihe in beide Richtungen ins Unendliche reichen. Dies geschieht genauso, wie es bei Potenzreihen üblich ist, und ähnelt der Darstellung abbrechender Dezimalbrüche, bei denen formal unendlich viele Nullen hinter der letzten Ziffer stehen.

Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den Hauptteil der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den Nebenteil oder den regulären Teil.

Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine Potenzreihe; hat sie außerdem nur endlich viele Terme, dann ist sie ein Polynom. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom.

Die Laurent-Reihe wurde 1843 von dem französischen Mathematiker Pierre Alphonse Laurent vorgestellt. Aufzeichnungen im Nachlass des deutschen Mathematikers Karl Weierstraß deuten jedoch darauf hin, dass dieser sie bereits 1841 entdeckt hatte.