N-elipse

En geometría, la n-elipse es una generalización de la elipse que permite más de dos focos.^[1]​ Las n-elipses se conocen por otros muchos nombres, como elipse multifocal,^[2]​ polielipse,^[3]​ ovoelipse,^[4]​ k-elipse,^[5]​ y óvalo de Tschirnhaus (en referencia a Ehrenfried Walther von Tschirnhaus). Fueron investigadas en primer lugar por James Clerk Maxwell en 1846.^[6]​

Dados n puntos (u_i, v_i) (llamados focos) en un plano, una n-elipse es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de las distancias a los n focos es una constante d. En fórmulas, este conjunto tiene la forma

${\displaystyle \left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\right\}.}$

La 1-elipse es la circunferencia. La 2-elipse es la elipse clásica. Ambas son curvas algebraicas de grado 2.

Para cualquier número n de focos, la n-elipse es una curva cerrada y convexa.^[2]​^{: (p. 90)} La curva es suave a menos que atraviese un foco.^[5]​^: p.7

La n-elipse es en general un subconjunto de puntos que satisfacen una ecuación algebraica^[5]​^{: Figs. 2 y 4, p. 7} particular. Si n es impar, el grado algebraico de la curva es ${\displaystyle 2^{n}}$, mientras que si n es par el grado es ${\displaystyle 2^{n}-{\binom {n}{n/2}}}$.^[5]​^{: (Thm. 1.1)}

1. ↑ Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; no se ha definido el contenido de las referencias llamadas Sekino
2. ↑ ^{a b} Erdős, Paul; Vincze, István (1982). «On the Approximation of Convex, Closed Plane Curves by Multifocal Ellipses». Journal of Applied Probability 19: 89-96. JSTOR 3213552. Archivado desde el original el 28 de septiembre de 2016. Consultado el 22 de febrero de 2015. 
3. ↑ Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; no se ha definido el contenido de las referencias llamadas Melzak
4. ↑ Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; no se ha definido el contenido de las referencias llamadas Sahadevan
5. ↑ ^{a b c d} J. Nie, P.A. Parrilo, B. Sturmfels: "J. Nie, P. Parrilo, B.St.: "Semidefinite representation of the k-ellipse", in Algorithms in Algebraic Geometry, I.M.A. Volumes in Mathematics and its Applications, 146, Springer, New York, 2008, pp. 117-132
6. ↑ Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; no se ha definido el contenido de las referencias llamadas Maxwell