Binomi de Newton

El Binomi de Newton^[1][2][3] o teorema del binomi és una fórmula que serveix per a calcular la potència ${\displaystyle n}$ d'un binomi ${\displaystyle (a+b)}$. És per tant una generalització de les fórmules elementals ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ i ${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$. Aquestes dues formen part del que s'anomenen Identitats notables, i admeten una demostració gràfica elemental en termes d'àrees de quadrats i rectangles, i volums de cubs i paral·lelepípedes.

La fórmula general utilitza nombres combinatoris, i diu:

${\displaystyle {(a+b)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}\,b^{k},\quad \quad \quad \quad \quad (1)}$

on el coeficient binomial ${\displaystyle {n \choose k}}$ és el nombre combinatori definit com a ${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$, que es llegeix "${\displaystyle n}$ sobre ${\displaystyle k}$". El conjunt dels coeficients binomials ordenats en fileres amb ${\displaystyle n}$ creixent de dalt a baix constitueixen l'anomenat triangle de Tartaglia, triangle de Pascal o triangle aritmètic.^[4]

Exemples:

• per ${\displaystyle n=2}$ : ${\displaystyle (a+b)^{2}={2 \choose 0}a^{2}+{2 \choose 1}ab+{2 \choose 2}b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

• per ${\displaystyle n=3}$ : ${\displaystyle (a+b)^{3}={3 \choose 0}a^{3}+{3 \choose 1}a^{2}b+{3 \choose 2}ab^{2}+{3 \choose 3}b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$
• ${\displaystyle 12^{3}=(10+2)^{3}=10^{3}+3\ 10^{2}\ 2+3\ 10\ 2^{2}+2^{3}=1000+600+120+8=1728}$

Quan tenim ${\displaystyle (a-b)^{n}}$, n'hi ha prou amb escriure-ho com a ${\displaystyle (a+(-b))^{n}}$, amb el que s'obté ${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$, ${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}$ i, en general,

${\displaystyle {(a-b)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}}$.

La fórmula és molt anterior a Newton. La seva història pot trobar-se a l'article Potència d'un Binomi de R. Nolla esmentat més avall com a enllaç extern.