Bisectriu

La bisectriu d'un angle és la recta que el divideix en dos angles iguals. Més formalment, és el lloc geomètric dels punts que són equidistants als dos costats de l'angle, és a dir, on la distància d'un punt qualsevol de la bisectriu a un dels costats de l'angle és igual a la distància d'aquell punt a l'altre costat.

L'equivalència entre les dues definicions es pot veure així: sigui l'angle ${\displaystyle {\widehat {xOy}}}$ amb vèrtex ${\displaystyle O}$ i costats ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$.

• D'una banda, si la recta ${\displaystyle b}$ n'és la bisectriu i ${\displaystyle P}$ és un punt qualsevol de la bisectriu ${\displaystyle b}$, els triangles ${\displaystyle \triangle PAO}$ i ${\displaystyle \triangle PBO}$ són triangles rectangles amb els angles rectes respectius a ${\displaystyle A}$ i a ${\displaystyle B}$ amb la hipotenusa comú, ${\displaystyle PO}$ i dos angles iguals, ${\displaystyle {\widehat {POA}}={\widehat {POB}}}$. En conseqüència, els dos triangles ${\displaystyle \triangle PAO}$ i ${\displaystyle \triangle PBO}$ són iguals i, per tant, també ho són els catets homòlegs ${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PB}}}$, cosa que prova l'equidistància del punt ${\displaystyle P}$ als dos costats ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ de l'angle.

• Inversament, si ${\displaystyle P}$ és un punt equidistant dels costats ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ de l'angle, ${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PB}}}$. Com abans, els triangles ${\displaystyle \triangle PAO}$ i ${\displaystyle \triangle PBO}$ són triangles rectangles amb els angles rectes respectius a ${\displaystyle A}$ i a ${\displaystyle B}$ amb la hipotenusa comú, amb catets iguals ${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PB}}}$. Els dos triangles,${\displaystyle \triangle PAO}$ i ${\displaystyle \triangle PBO}$, són, doncs, iguals i ho són també els angles homòlegs ${\displaystyle {\widehat {POA}}={\widehat {POB}}}$. Per tant, ${\displaystyle b}$ és la bisectriu der l'angle ${\displaystyle {\widehat {AOB}}={\widehat {xOy}}}$.