Coeficient binomial

En matemàtiques, un coeficient binomial^[1] és qualsevol dels coeficients dels termes del polinomi que resulta de desenvolupar el binomi de Newton, és a dir del desenvolupament de ${\displaystyle (x+y)^{n}}$. El coeficient del terme ${\displaystyle k}$-èsim d'aquest polinomi, quan ${\displaystyle n}$ és el grau del polinomi, s'escriu ${\displaystyle {n \choose k}}$, que es llegeix com "${\displaystyle n}$ sobre ${\displaystyle k}$". Per tant

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.}$

(1)

El seu valor és

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\quad {\mbox{per}}\ n\geq k\geq 0,}$

on ${\displaystyle n!}$ significa el factorial de ${\displaystyle n}$. També podem escriure ${\displaystyle (1+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{k}.}$

Si es disposen aquests coeficients binomials en files centrades per successius valors de ${\displaystyle n}$, començant per ${\displaystyle n=0}$ i de manera que en aquestes files els valors de ${\displaystyle k}$ variïn entre ${\displaystyle 0}$ i ${\displaystyle n}$, s'obté l'anomenat triangle de Pascal (o triangle de Tartaglia, o triangle aritmètic), que pot generar-se recursivament de manera molt senzilla, ja que cada coeficient és la suma dels dos que te a sobre.^[2]