Operador de d'Alembert

En la relativitat especial, electromagnetisme i teoria de l'ona, l'operador de d'Alembert (denotat per un quadrat: ${\displaystyle \Box }$), també anomenat operador d'Alembertià, operador d'ona o operador caixa és un operador laplacià de l'espai de Minkowski. L'operador rep el seu nom del matemàtic i físic francès Jean le Rond d'Alembert.

A l'espai de Minkowski, en coordenades estàndard (t, x, y, z), té la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box &=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=g^{\mu \nu }\partial _{\nu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\Delta ~~.\end{aligned}}}$

On ∇² és l'operador laplacià tridimensional i g^μν és la mètrica inversa de Minkowski amb

${\displaystyle g_{00}=1}$, ${\displaystyle g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1}$, ${\displaystyle g_{\mu \nu }=0}$ for ${\displaystyle \mu \neq \nu }$.

S'ha de tenir en compte que els índexs de sumació μ i ν oscil·len entre 0 i 3: vegeu la notació d'Einstein. Hem assumit unitats tals que la velocitat de la llum c = 1.

(Alguns autors utilitzen alternativament la signatura mètrica negativa de (− + + +), amb ${\displaystyle g_{00}=-1,\;g_{11}=g_{22}=g_{33}=1}$).

Les transformacions de Lorentz deixen la mètrica de Minkowski invariant, de manera que el d'Alembertià produeix un escalar de Lorentz. Les expressions de coordenades anteriors segueixen sent vàlides per a les coordenades estàndard de cada marc inercial.