Back مبرهنة كايلي Arabic Satz von Cayley German Cayley's theorem English Teorema de Cayley Spanish قضیه کیلی Persian Cayleyn lause Finnish Théorème de Cayley French משפט קיילי HE Cayley-tétel Hungarian Teorema di Cayley Italian

Teorema de Cayley

En teoria de grups, el teorema de Cayley, dit així en honor d'Arthur Cayley, estableix que tot grup G és isomorf a un subgrup del grup simètric actuant sobre G.[1] Aquest resultat es pot interpretar com un exemple de l'acció de grup de G sobre els elements de G.[2]

Una permutació d'un conjunt G és qualsevol funció bijectiva entre G i G; i el conjunt de totes aquestes funcions configura un grup amb l'operació de composició, anomenat grup simètric sobre G, i simbolitzat per Sim(G).[3]

El teorema de Cayley col·loca tots els grups al mateix nivell, ja que considera qualsevol grup (incloent-hi grups infinits com (R,+)) com un grup de permutacions sobre algun conjunt subjacent. Així, els teoremes que són certs per a subgrups de grups de permutacions també són certs per a grups en general. No obstant això, Alperin i Bell apunten que

« (anglès) in general the fact that finite groups are imbedded in symmetric groups has not influenced the methods used to study finite groups.

(català) en general, el fet que els grups finits estiguin immersos en grups simètrics no ha influït els mètodes per estudiar els grups finits. »
— J. L. Alperin i Rowen B. Bell, Groups and representations[4]

L'acció regular utilitzada en la demostració del teorema de Cayley no genera la representació de G en un grup de permutacions d'ordre mínim. Per exemple, S₃, que és un grup simètric d'ordre 6, es representaria mitjançant l'acció regular com un subgrup de S₆ (un grup d'ordre 720).[5] El problema de trobar una immersió d'un grup en un grup simètric d'ordre mínim és significativament més complicat.[6][7]

  1. ↑ Jacobson, 2009, p. 38.
  2. ↑ Jacobson, 2009, p. 72, ex. 1.
  3. ↑ Jacobson, 2009, p. 31.
  4. ↑ Alperin, J. L.; Bell, Rowen B. Groups and representations. Springer, 1995, p. 29. ISBN 978-0-387-94525-5. 
  5. ↑ Cameron, Peter J. Introduction to Algebra. 2a edició. Oxford University Press, 2008, p. 134. ISBN 978-0-19-852793-0. 
  6. ↑ Johnson, D. L.. Minimal Permutation Representations of Finite Groups. 93, 1971, p. 857. DOI 10.2307/2373739. 
  7. ↑ Grechkoseeva, M. A. «On Minimal Permutation Representations of Classical Simple Groups». Siberian Mathematical Journal, 44, 3, 2003, pàg. 443–462. DOI: 10.1023/A:1023860730624.

Rich TVX News Network Site

Rich TVX News Network Info

© MMXXIII Rich X Search. We shall prevail. All rights reserved. Rich X Search