Teorema de Taylor

En càlcul, el Teorema de Taylor, rep el seu nom del matemàtic britànic Brook Taylor, qui el va enunciar el 1712. Aquest teorema permet aproximar una funció derivable en l'entorn reduït al voltant d'un punt a: I (a, d) mitjançant un polinomi els coeficients del qual depenen de les derivades de la funció en aquest punt. En termes matemàtics: Si n≥0 és un enter i f una funció que és derivable n vegades en l'interval tancat [a, x] i n+1 en l'interval obert (a, x), llavors es compleix que:

${\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R}$

On, n! denota el factorial de n, i R és la resta, terme que depèn x i és petit si x està pròxim al punt a. Existeixen dues expressions per a R que s'esmenten a continuació:

${\displaystyle R={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}}$

on ξ (valor comprès entre x i a), a i x pertanyen als reals, i n als naturals.

${\displaystyle R=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}\,dt}$

Si R és expressat de la primera forma, se l'anomena Terme complementari de Lagrange, atès que el teorema de Taylor s'exposa com una generalització del Teorema del valor mitjà del càlcul diferencial, mentre que la segona expressió de R mostra el teorema com una generalització del Teorema fonamental del càlcul integral.

Per a algunes funcions f(x), es pot provar que la resta, R, s'aproxima a zero quan n s'acosta a ∞; aquestes funcions poden ser expressades com a sèries de Taylor en un entorn reduït al voltant d'un punt a i són denominades funcions analítiques.

El teorema de Taylor amb R expressat de la segona forma és també vàlid si la funció f té nombres complexos o valors vectorials. A més existeix una variació del teorema de Taylor adaptat a funcions amb múltiples variables.