Teoria de Sturm-Liouville

En matemàtiques, una equació de Sturm-Liouville, que pren el seu nom de Jacques Charles François Sturm (1803-1855) i Joseph Liouville (1809-1882), és una equació diferencial lineal de segon ordre de la forma:^[1][2]

(1)${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y}$

on les funcions ${\displaystyle \ p(x),q(x),w(x)}$ estan preestablertes, i en el cas més simple són contínues en un interval finit tancat ${\displaystyle [a,b]}$. El problema generalment ve formulat amb condicions de frontera, és a dir, valors específics de ${\displaystyle y}$ i/o ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ en els extrems ${\displaystyle a,b}$. La funció ${\displaystyle w(x)}$ és anomenada funció de densitat o funció de pes.

El valor de λ no s'especifica en l'equació; el trobar els valors λ on hi hagi una solució no trivial de l'equació que satisfaci condicions de frontera es denomina el problema de Sturm-Liouville (S-L).

Tals valors de λ són anomenats valors propis del problema de S-L que planteja (1) conjuntament amb les condicions de frontera. Les solucions corresponents són les funcions pròpies o els autovectors del problema. Sota suposicions normals en els coeficients de les funcions ${\displaystyle p(x),q(x),w(x)}$, aquestes indueixen operadors diferencials hermítics en algunes funcions definides per les condicions de frontera. La teoria resultant de l'existència i el comportament asimptòtic dels valors propis, la teoria qualitativa corresponent de les funcions pròpies i les seves funcions adequades completes es coneix com a teoria de Sturm-Liouville. Aquesta teoria és important en matemàtica aplicada, on els problemes S-L ocorren molt sovint, particularment en resoldre equacions diferencials parcials per separació de variables.