Teoria de grups

En aquest article es desenvoluparà un enfocament tècnic de la teoria de grups, per una introducció planera vegeu: Introducció a la teoria de grups

La teoria de grups dins la matemàtica estudia les propietats dels grups, i com classificar-los.

Un grup matemàtic és un magma (un parell ${\displaystyle (G,*)}$), on G és un conjunt no buit i * una llei de composició interna, això és ${\displaystyle *:G\times G\to G}$, que verifica:

1. ${\displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c,\forall a,b,c\in G}$ (associativitat)
2. ${\displaystyle \exists 1\in A:1*a=a*1=a}$ (element neutre)
3. ${\displaystyle \forall a\in A\quad \exists a^{-1}\in A:a*a^{-1}=a^{-1}*a=1}$ (element invers)

En altres paraules, un grup és un conjunt amb una operació binària associativa, tancada, que té element neutre i inversos.

Un grup on es verifiqui ${\displaystyle a*b=b*a}$ per a qualsevol parell d'elements ${\displaystyle a,b}$ en ${\displaystyle G}$ s'anomena abelià o commutatiu.

Exemples:

• ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ és un grup abelià. ℝ és el conjunt dels nombres reals i + la suma usual.
• ${\displaystyle (\mathbb {R} -\{0\},\cdot )}$ és grup abelià. (cal remarcar que el zero no té invers multiplicatiu, per això se l'exclou).
• ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$ és grup, on ℤ/nℤ és el conjunt de residus mòdul n.

S'anomena ordre d'un grup G a la cardinalitat de G. Un grup es diu grup finit o grup infinit si el conjunt és finit o infinit. En l'exemple citat, els formats amb ℝ són infinits i el format amb ℤ/nℤ és finit. La classificació dels grups simples finits és un dels grans avenços matemàtics del segle xx.

Els grups són els blocs per construir estructures algebraiques més elaborades tals com anells, cossos, espais vectorials, etc. i són recurrents a les matemàtiques. La teoria de grups té moltes aplicacions en química i física i és potencialment aplicable a qualsevol problema caracteritzat per la seva simetria.

Les beceroles de la història de la teoria de grups daten del segle xix. Una de les gestes matemàtiques més rellevants del segle XX^[1] va ser l'esforç col·laboratiu, que va omplir més de 10,000 pàgines d'articles publicats principalment entre l'any 1960 i el 2004, que va culminar en una classificació de grups simples finits completa.