Teoria de la mesura

En matemàtiques el concepte de mesura generalitza nocions com ara "longitud", "àrea", i "volum" (tot i que no totes les aplicacions de les mesures tenen a veure amb mides físiques). De manera informal, donat un conjunt base, una "mesura" és una assignació consistent de "grandàries" als subconjunts del conjunt base. Depenent de com es faci aquesta assignació, la "mida" d'un subconjunt es pot interpretar, per exemple, com: la seva mida física, la quantitat de quelcom que està dins del subconjunt, o la probabilitat que algun procés aleatori doni un resultat que pertanyi al subconjunt. Les mesures es fan servir principalment per a definir el concepte general d'integració sobre dominis amb estructura més complexa que els intervals de la recta real (Integral de Lebesgue). Aquestes integrals es fan servir a bastament en teoria de la probabilitat i en anàlisi matemàtica.

Sovint no és possible, o no és desitjable, assignar mida a tots els subconjunts del conjunt base, per tant, no cal que la mesura ho faci. Hi ha certes condicions de consistència que determinen a quines combinacions de subconjunts se'ls pot assignar mida a través d'una mesura; aquestes condicions determinen el concepte de σ-àlgebra.

En topologia diferencial, es fa servir més sovint el concepte de forma de volum que està directament relacionat amb el de mesura.

La teoria de la mesura és una branca de l'anàlisi matemàtica (no de la metrologia) que estudia les σ-àlgebres, les mesures, les funcions mesurables i les integrals.