Topologia algebraica

La topologia algebraica és el camp de les matemàtiques que usa estructures algebraiques per estudiar transformacions d'objectes geomètrics. Usa funcions (sovint anomenades aplicacions en aquest context) per representar transformacions contínues. Considerades en conjunt, les aplicacions i els objectes poden tenir una estructura de grup algebraic, que es pot estudiar amb mètodes de la teoria de grups. Utilitza les eines de l'àlgebra abstracta per estudiar els espais topològics. L'objectiu principal és trobar invariants algebraics que permetin classificar els espais topològics llevat d'homeomorfismes, encara que, en la majoria de casos, aquesta classificació es dona només fins al nivell d'equivalència d'homotopia.

Encara que la topologia algebraica utilitza principalment l'àlgebra per estudiar problemes topològics, de vegades també és possible utilitzar la topologia per resoldre problemes algebraics. Per exemple, proporciona una demostració convenient de què qualsevol subgrup d'un grup lliure és també un grup lliure.