Pi (tal)

For alternative betydninger, se Pi. (Se også artikler, som begynder med Pi)

Tallet pi (også kaldet Arkimedes' konstant) er en matematisk konstant, der skrives med det græske bogstav π. Konstanten optræder mange steder inden for blandt andet matematik og fysik. Den er defineret som forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter. Det vil sige længden af omkredsen divideret med længden af diameteren. Man kan også definere π som arealet af en cirkel med radius 1, eller som det mindste positive tal x for hvilket der gælder at sinus til x er lig med 0.

Tallet er irrationalt, så decimalerne udgør ikke en cyklisk følge. Det er endda et transcendent tal – altså ikke rod i noget polynomium med rationale koefficienter. I mange sammenhænge er 3,14 en tilstrækkelig god tilnærmelse. Foretrækker man en brøk, er 22/7 (Archimedes) eller endnu bedre 355/113 (Zu) udmærkede approksimationer. Er det stadig ikke godt nok, kan approksimationen ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}}}}$ bruges. Denne approksimation afviger først på niende decimal.

Her er π med 100 decimaler:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

Der er flere måder, hvorpå man tilnærmet kan beregne pi. Her er to eksempler på rækker der konvergerer imod pi:

${\displaystyle \pi =4\cdot \sum _{n=1}^{\infty }\left(-1\right)^{n+1}\cdot {\frac {1}{2n-1}}=4\cdot \left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}...\right)}$

eller

${\displaystyle \pi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {180}{n}}\right)\cdot n+\tan \left({\frac {180}{n}}\right)\cdot n}{2}}}$.