Boltzmann-Statistik

Die Boltzmann-Statistik der Thermodynamik (auch Boltzmann-Verteilung oder Gibbs-Boltzmann-Verteilung, nach Josiah Willard Gibbs und Ludwig Boltzmann) gibt die Wahrscheinlichkeit an, ein gegebenes physikalisches System in einem bestimmten Zustand anzutreffen, wenn es mit einem Wärmebad im thermischen Gleichgewicht steht. Diese Wahrscheinlichkeit ist durch

${\displaystyle p={\frac {1}{Z}}\mathrm {e} ^{-E/k_{\mathrm {B} }T}}$

gegeben. Darin ist ${\displaystyle E}$ die Energie des Zustands, ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ die Boltzmann-Konstante, ${\displaystyle T}$ die thermodynamische Temperatur und ${\displaystyle Z}$ eine Normierungskonstante, die so zu bestimmen ist, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle p}$ den Wert 1 erreicht, wobei die Summe über alle möglichen Zustände des Systems läuft:

${\displaystyle Z=\sum _{\text{Mikrozustände i}}\mathrm {e} ^{-E_{i}/k_{\mathrm {B} }T}}$

${\displaystyle Z}$ ist bei gegebenem System eine Funktion der Temperatur und heißt in der statistischen Physik kanonische Zustandssumme. Die Summe läuft über alle Mikrozustände des Systems. Die Zustandssumme kann äquivalent auch durch Summation über die verschiedenen möglichen Energiezustände ausgedrückt werden:

${\displaystyle Z=\sum _{\text{E}}\Omega (E)\mathrm {e} ^{E/k_{\mathrm {B} }T}}$

wobei dann die Entartung ${\displaystyle \Omega (E)}$ der Energiezustände berücksichtigt werden muss (d. h. die Information, wie viele Mikrozustände zu dem Energiezustand gezählt werden).

Von zentraler Bedeutung in der Boltzmann-Statistik ist der Boltzmann-Faktor ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-E/k_{\mathrm {B} }T}}$. Er hängt nur von der Energie ${\displaystyle E}$ des betrachteten Zustands und von der absoluten Temperatur ${\displaystyle T}$ ab, nicht von der Art und Größe des Systems. Diese drücken sich nur in der Summe ${\displaystyle Z}$ der Boltzmann-Faktoren aller Zustände des Systems aus. Alle thermodynamischen Eigenschaften des Systems lassen sich aus ${\displaystyle Z}$ berechnen.

Die systematische Herleitung der Boltzmann-Statistik erfolgt in der statistischen Physik. Dabei repräsentiert das ans Wärmebad gekoppelte System ein kanonisches Ensemble.

Ist die Wahrscheinlichkeit nicht für einen bestimmten Zustand zu ermitteln, sondern dafür, dass das System eine bestimmte Energie hat, muss der Boltzmann-Faktor mit der Zahl der Zustände zu dieser Energie multipliziert werden (siehe Entartungsgrad und Zustandsdichte). In der Quantenstatistik identischer Teilchen treten an die Stelle der Boltzmann-Statistik je nach Teilchenart die Fermi-Dirac-Statistik oder die Bose-Einstein-Statistik. Beide lassen sich aus der Boltzmann-Statistik ableiten und gehen bei kleinen Besetzungswahrscheinlichkeiten in diese über.

Mathematisch ist die Boltzmann-Verteilung eine univariate diskrete Verteilung einer unendlichen Menge. Auf ihr basiert zum Beispiel das künstliche neuronale Netz der Boltzmann-Maschine.