Dreiecksfunktion

Die Dreiecksfunktion, auch tri-Funktion, triangle-Funktion oder tent-Funktion, ist eine mathematische Funktion mit folgender Definition:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (t)=\land (t)\quad &{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \max(1-|t|,0)\\&={\begin{cases}1-|t|,&|t|<1\\0,&{\mbox{ansonsten}}\end{cases}}\end{aligned}}}$.

Sie kann dazu gleichwertig auch als Faltung der Rechteckfunktion ${\displaystyle \operatorname {rect} }$ mit sich selbst definiert werden, wie es auch in nebenstehender Abbildung anschaulich dargestellt ist:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (t)=\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\quad &{\overset {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (t-\tau )\ d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (\tau )\cdot \mathrm {rect} (\tau -t)\ d\tau \end{aligned}}}$.

Durch einen Parameter ${\displaystyle a\neq 0}$ kann die Dreiecksfunktion skaliert werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (t/a)&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|\\0,&{\mbox{ansonsten}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Die Dreiecksfunktion findet vor allem im Bereich der Signalverarbeitung zur Darstellung von idealisierten Signalverläufen Anwendung. Sie dient dort neben der Gauß-Funktion, der Heaviside-Funktion und der Rechteckfunktion zur Beschreibung von Elementarsignalen. Technische Anwendungen liegen im Bereich von Optimalfiltern oder bei Fensterfunktionen wie dem Bartlett-Fenster.

Die Fourier-Transformation der Dreiecksfunktion ergibt die quadrierte si-Funktion:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&=\mathrm {si} ^{2}(\pi f).\end{aligned}}}$