Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)

Die Euler’schen Kreiselgleichungen oder uneindeutig Euler’schen Gleichungen sind Bewegungsgleichungen für die Rotation eines starren Körpers. Es sind die Komponenten des für den Starrkörper in seinem Hauptachsensystem aufgeschriebenen Drallsatzes und stellen die wichtigste Grundgleichung der Kreiseltheorie dar.

Wird der Körper einem Drehmoment ausgesetzt, entwickeln sich Kreiselwirkungen, die versuchen, die Eigendrehung mit der erzwungenen Drehung in Deckung zu bringen.^[1] Die Kreiselwirkungen sind die summierten Drehmomente der Eulerkräfte und Zentrifugalkräfte an allen Massenpunkten des Körpers. Das Moment und die Kreiselwirkungen befinden sich im dynamischen Gleichgewicht, was die Kreiselgleichungen ausdrücken:

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{1}=&\Theta _{1}{\dot {\omega }}_{1}+(\Theta _{3}-\Theta _{2})\omega _{2}\omega _{3}={\dot {L}}_{1}+\left({\frac {1}{\Theta _{2}}}-{\frac {1}{\Theta _{3}}}\right)L_{2}L_{3}\\M_{2}=&\Theta _{2}{\dot {\omega }}_{2}+(\Theta _{1}-\Theta _{3})\omega _{3}\omega _{1}={\dot {L}}_{2}+\left({\frac {1}{\Theta _{3}}}-{\frac {1}{\Theta _{1}}}\right)L_{3}L_{1}\\M_{3}=&\Theta _{3}{\dot {\omega }}_{3}+(\Theta _{2}-\Theta _{1})\omega _{1}\omega _{2}={\dot {L}}_{3}+\left({\frac {1}{\Theta _{1}}}-{\frac {1}{\Theta _{2}}}\right)L_{1}L_{2}\end{aligned}}}$

Darin sind jeweils für ${\displaystyle k=1,2,3}$

${\displaystyle M_{k}}$ die von außen angreifenden Drehmomente,

${\displaystyle \Theta _{k}}$ die Hauptträgheitsmomente,

${\displaystyle L_{k}=\Theta _{k}\omega _{k}}$ die Drehimpulse,

${\displaystyle \omega _{k}}$ die Winkelgeschwindigkeiten und

${\displaystyle {\dot {\omega }}_{k}}$ die Winkelbeschleunigungen

im Hauptachsensystem. Gelegentlich wird auch die dazu gehörige Vektorgleichung^[2]

${\displaystyle {\vec {M}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\dot {\vec {\omega }}}+{\vec {\omega }}\times \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}={\frac {\mathrm {d} _{r}}{\mathrm {d} t}}{\vec {L}}+{\vec {L}}\cdot \mathbf {\Theta } ^{-1}\times {\vec {L}}}$

mit dem Trägheitstensor ${\displaystyle \mathbf {\Theta } }$ als Euler’sche Kreiselgleichung angegeben. Hier bildet „·“ die Vektortransformation, „ד das Kreuzprodukt und ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} _{r}}{\mathrm {d} t}}}$ die relative Zeitableitung im Hauptachsensystem.

Die Drehmomente, Hauptträgheitsmomente und Drehimpulse werden mit einem Bezugspunkt berechnet, für den sich der Massenmittelpunkt oder ein unbeschleunigter, in einem Inertialsystem ruhender Stützpunkt eignen, siehe Drallsatz am starren Körper.

Die ersten Summanden auf den rechten Seiten, bestehend aus den Winkelbeschleunigungen und Drehimpulsänderungen, resultieren aus den Kreiselwirkungen der Euler-Kräfte und die anderen, in den Winkelgeschwindigkeiten und Drehimpulsen quadratischen Terme berücksichtigen die Kreiselwirkungen der Zentrifugalkräfte. Wenn die Bewegung bekannt ist, dann können aus diesen Gleichungen die Momente berechnet werden, die im Bezugspunkt eingeleitet werden müssen, damit der Körper die vorgegebene Bewegung ausführt.

Die Kreiselgleichungen wurden von Leonhard Euler 1750 aufgestellt und später zum Drallsatz weiterentwickelt.^[3]

1. ↑ Grammel (1920), S. 70.
2. ↑ In der Tensoralgebra kann auf Klammerungen verzichtet werden:

   ${\displaystyle ({\vec {L}}\cdot \mathbf {\Theta } ^{-1})\times {\vec {L}}={\vec {L}}\cdot (\mathbf {\Theta } ^{-1}\times {\vec {L}})={\vec {L}}\cdot \mathbf {\Theta } ^{-1}\times {\vec {L}}}$

3. ↑ Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag; kein Text angegeben für Einzelnachweis mit dem Namen truesdell.